Curvas inesperadas: Trazar líneas rectas en un mapa

Newsletter #50 – 2024/02/20

Buen martes a todos,

Una de las cosas que más suele llamar la atención a las personas que no han dedicado tiempo a pensar sobre los mapas suele ser la representación de la distancia más corta entre dos puntos. Aunque casi todo el mundo sabe que los mapas distorsionan la realidad¹, cuando alguien nos pide que tracemos la línea más corta entre dos puntos en un mapa, el primer impulso va a ser trazar una línea recta entre los dos. La aproximación puede funcionar en algunos casos, que dependerán de la proyección utilizada, o cuando los dos puntos están cercanos en el mapa², pero en muchos casos la solución será bastante más compleja de lo esperado.

Esto es mucho más fácil de aceptar cuando uno lo ve por sí mismo. Si tenéis un globo terráqueo en casa y un hilo, basta con tirar líneas y observar que en algunos casos los trazados no son tan intuitivos como podría parecer. Estas líneas se conocen en geometría como líneas geodésicas y en la newsletter de hoy os traigo algunos ejemplos… y de ahí derivaré a otras líneas curiosas que se pueden trazar en el planeta.

Las rutas de las aerolíneas

Si alguna vez habéis realizado un vuelo transoceánico sin cambiar de hemisferio, o entre Europa y Asia, seguramente os hayáis percatado de que la trayectoria seguida por los aviones no acostumbra a ser una línea recta en el mapa. La primera vez que lo observé con mis propios ojos fue en la primera vez que crucé el Charco. Acababa de cambiar de trabajo y, sorprendentemente, me mandaban a una formación a Boston durante unas semanas. Por cuestión de horario, me tocó coger hacer escala en Múnich, por lo que resultó un viaje más o menos como el que se puede ver en el siguiente mapa.

Trayecto Madrid - Múnich - Boston (Google Maps)

Yo había leído y estudiado sobre proyecciones cartográficas, pero la verdad es que al ver esto por primera vez lo que me vino a la cabeza fue que había otras razones por las que el trayecto elegido era ese. Supuse que, al tener que estar tantas horas sobre el océano, era una mera cuestión de seguridad elegir salir por las Islas Británicas de Europa y entrar en Norteamérica por Terranova. En mi cabeza sonaba maravilloso y, en cierto modo, la explicación perfecta. Es fascinante cómo nos podemos engañar a nosotros mismos cuando estamos realmente convencidos de algo.

A los pocos años, tuve un nuevo viaje largo, pero esta vez en dirección totalmente contraria. Fui a Japón a visitar a una amiga y, por cuestión de costes, terminé volando de Madrid a Londres, y desde ahí hasta Tokio. El trayecto resultó semejante a lo que se puede observar en el siguiente mapa.

Trayecto Madrid - Londres - Tokio (Google Maps)

Aquí mi esquema mental se derrumbó. La explicación barata que me había sacado de la manga para el viaje a Boston ya no funcionaba en este caso. No es que hablemos de un leve desvío, es que en este caso el avión sobrevolaba levemente el océano Ártico, trazando una curva sobre el mapa que no resulta nada intuitiva. Cuando tuve tiempo, lo eché un vistazo con más calma y, en cuanto lo leí, resultó evidente. Los aviones, en general, utilizan los trayectos más cortos entre dos puntos, por una mera cuestión de coste de combustible, como es lógico, pero estos trayectos se corresponden con las líneas geodésicas sobre la superficie terrestre, no las líneas rectas sobre el mapa. Tomando el mapa de más arriba. La distancia que separa Londres y Tokio siguiendo su línea geodésica es de 9 576 kilómetros. Si por la contra, trazamos una línea recta en el mapa y medimos la distancia, nos vamos a más de 11 200 kilómetros, lo que supone un incremento del 17 %. Ahí es nada.

Durante las primeras décadas de la aviación comercial, las aerolíneas se publicitaron con multitud de mapas para que los potenciales clientes pudieran apreciar las grandes distancias que se podían recorrer gracias al nuevo avance tecnológico. Como es esperable, aquellos primeros mapas contaban con las limitaciones de la tecnología de la época: los aviones podían volar una distancia mínima antes de parar a repostar, lo que implicaba múltiples escalas y, en consecuencia, aprovechar para recorrer zonas pobladas y de interés. Esa es la razón por la que algunos mapas trazan líneas prácticamente rectas en el mapa a lo largo de todo su recorrido, tal y como este ejemplo de la neerlandesa KLM.

Mapa de vuelo de KLM de 1929 (fuente)

Con el paso de las décadas y la mejora de la autonomía y la seguridad de los aviones, los trayectos comenzaron a hacerse más eficientes, lo que también se reflejó en los mapas de rutas aéreas que publicitaron las aerolíneas. Quizá los mapas más icónicos son los que publicó SAS (Scandinavian Airlines Systems) durante la década de los 60 y 70. Utilizando proyecciones poco comunes, mostraron de forma eficaz cómo los aviones podían realizar trayectos imposibles para otros medios de transporte. En el mapa que os traigo a continuación se aprecia con claridad un vuelo entre Copenhague y Alaska que directamente atraviesa el océano Ártico.

Scandinavian Airlines System, 1960 (fuente)

Mirando a la Meca

Según la religión musulmana, todas las oraciones del día han de realizarse orientados a la ciudad de la Meca, donde reside la Kaaba. Esto, además, es determinante en la orientación de las mezquitas, ya que estos edificios se construyen de tal forma que el rezo dentro de las mismas esté también orientado hacia la Meca.

Hace algunos meses, Pedro Torrijos habló en Twitter³ sobre la curiosa historia de una mezquita levantada en Washington. El Centro Islámico de Washington se levantó entre 1949 y 1953 y, siguiendo la tradición musulmana, se construyó con el rezo orientado hacia la Meca. Poco antes de su apertura, el edificio fue visitado por Kamil Abdul Rahim, embajador de la Liga Árabe en las Naciones Unidas, y entonces cuestionó que la orientación del edificio fuera la correcta. La Meca está situada al este-sureste de Washington, pero el edificio apuntaba hacia el noroeste.

Orientación del Centro Islámico de Washington (fuente)

Y aquí nos encontramos de nuevo con el mismo dilema sobre el que hemos estado hablando con las aerolíneas. La línea geodésica que une Washington y la Meca se corresponde con la orientación que tiene la mezquita (que podéis ver en el mapa más abajo en negro), mientras que la línea recta que se puede trazar en el mapa se corresponde con la dirección que interpretaba Kamil Abdul Rahim como correcta (en naranja en el mapa inferior). De algún modo, según la interpretación que se haga, parece ser que ambas opciones son correctas.

Washington - Mecca (Google Maps)

Pero, ¿cuál considera el Islam como correcta? Hace siglos, cuando no había acceso a ninguna herramienta para establecer dónde estaba situada la Meca, lo habitual es que cada región tuviera indicativos en su mezquita local. Por lo general, al oeste de la Meca se aconsejaba rezar hacia la salida del sol, mientras que al este de la Meca hacia la puesta del sol. Con la popularización de las brújulas, esta idea se perpetuó por ser la forma más práctica de que cualquier musulmán se orientase de forma aproximada hacia la Meca.

En realidad, los matemáticos árabes ya solucionaron este dilema hace varios siglos. Lo óptimo, según ellos, es orientarse siguiendo la línea geodésica, o lo que es lo mismo, siguiendo la distancia más corta que te separa de la Meca. Como es esperable, la religión musulmana es lo suficientemente laxa como para admitir cualquier aproximación como buena. Pero volviendo al edificio de Washington, el arquitecto estaba en lo correcto, no tanto el embajador.

Las rutas marítimas más largas

En alguna ocasión habréis escuchado que una de las grandezas de la proyección de Mercator es su eficacia para la navegación. Por su definición matemática, se trata de una proyección conforme, lo que le permite mantener los ángulos. Lo que esto implica en la práctica es que cualquier línea recta trazada en un mapa con esta proyección puede seguirse con facilidad por un marino siempre que mantenga el rumbo⁴. Esto fue de uso común durante los siglos XVII y XVIII, cuando se exploró gran parte de los océanos del planeta. Pero una peculiaridad del rumbo es que no ayuda a recorrer la distancia más corta, tan solo es la forma más simple e intuitiva de llegar de A a B.

La gran diferencia entre rumbo y líneas geodésicas es algo que suele resultar bastante curioso de explorar. Con la popularización de Google Earth y Google Maps, son muchas personas las que han empleado parte de su tiempo en trazar recorridos de navegación a través de líneas geodésicas, de tal modo que se pueden unir puntos inesperados. En cierto modo, esto es el equivalente a pensar: si me sitúo en la costa y miro hacia el horizonte, ¿hacia dónde estoy mirando? Aunque parezca increíble, existe un punto en la costa de Noruega, cerca de Bergen, que apunta directamente hacia la Antártida, ¡pero atravesando el océano Ártico!

Ruta entre Noruega y Antártida (fuente)

En la misma línea, Patrick Anderson planteó en 2012 en Reddit que había encontrado la línea geodésica más larga que se podía recorrer sobre mar sin pisar Tierra, yendo desde la costa de Pakistán hasta la península de Kamchatka, en Rusia. Si queréis algo visualmente más atractivo, podéis echar un vistazo a este vídeo de YouTube donde trazó la misma línea en Google Earth, pero abajo os dejo el mapa que publicó originalmente en Reddit.

De Pakistán a Kamchatka (fuente)

Este planteamiento resultó extremadamente atractivo a Rohan Chabukswar y Kushal Mukherjee, un físico y un ingeniero de la India, quienes decidieron dedicar tiempo para formalizar este planteamiento y, validarlo o encontrar cuál es realmente la ruta más larga que se puede recorrer en línea recta. Tras cinco años de análisis de fuerza bruta, en el que se analizaron más de 230 millones de posibilidades, en 2018 publicaron que Patrick Anderson estaba en lo correcto⁵.

Concretamente, el trayecto marítimo saldría de una playa cercana a Sonmiani, en Pakistán. Recorrería la costa este africana, atravesaría el canal de Mozambique, que separa Madagascar del continente, hasta llegar al océano Antártico. De ahí, pasaría entre el cabo de Hornos y la Antártida, atravesaría todo el océano Pacífico y, finalmente, llegaría a las frías playas de la isla de Karaginsky, frente a la costa de Kamchatka, en Rusia.

Con todos los datos en la mano, los autores de este estudio también revelaron cuál sería el trayecto equivalente por tierra, iría desde Sagres, en el sur de Portugal, hasta la costa de China, cerca de la ciudad de Jinjiang⁶. Os dejo esto más abajo como postre a la newsletter de hoy.

Ruta terrestre en línea recta más larga del mundo (fuente)

1. Sobre esto hablé hace muchos meses en la newsletter, en el que posiblemente sea la entrada que más repercusión ha tenido. Podéis echarla un vistazo aquí.

2. No se puede generalizar, ya que dependiendo de la orientación de la línea y la proyección, la distorsión variará. Pero si tomamos una línea horizontal con la proyección utilizada por Google Maps, hacen falta más de 1 000 kilómetros de distancia para empezar a apreciar la curva.

3. Pedro Torrijos escribe hilos en Twitter y cuenta historias en Instagram, pero también mantiene una newsletter en Substack para poder recibir actualizaciones cuando escribe alguno.

4. Por no hacerlo muy engorroso, lo comento en una nota. El rumbo, por su definición matemática, es el ángulo que existe entre la línea desde un punto al norte y la dirección que se va a tomar. Dicho de otro modo más práctico, mantener el rumbo se limita a asegurarse que navegamos con la brújula siempre apuntando en la misma dirección.

5. Aquí tenéis los detalles del estudio en la revista Science. Si queréis el paper completo os lo podéis descargar en PDF aquí.

6. Es posible que hayáis visto otra ruta semejante que va desde la costa pacífica de Asia hasta la costa atlántica de África. Este otro trayecto atraviesa el mar Muerto, por lo que no se suele considerar correcto.